Nous savons que la fonction logarithme népérien occupe une place centrale dans le programme de spécialité mathématiques en terminale, et maîtriser son ensemble de définition représente une compétence fondamentale. Selon les statistiques du Ministère de l’Éducation nationale, environ 38% des lycéens français suivaient la spécialité mathématiques en terminale en 2024. Dans ce contexte, nous vous proposons une approche méthodique pour résoudre tous vos exercices portant sur le domaine de définition des fonctions logarithmiques, qu’elles soient élémentaires ou composées.
La courbe représentative comme outil fondamental
Nous insistons sur un principe essentiel : visualiser la représentation graphique constitue la clé pour comprendre les restrictions du domaine. La courbe du logarithme népérien présente des caractéristiques précises qu’il faut mémoriser. Elle traverse l’axe des abscisses au point d’abscisse 1, où ln(1) = 0. Vers la gauche, lorsque les valeurs s’approchent de zéro par valeurs positives, la fonction décroît indéfiniment vers l’infini négatif. Vers la droite, elle croît lentement mais continûment vers l’infini positif.
Cette visualisation permet de comprendre immédiatement pourquoi les nombres négatifs sont exclus du domaine. Prenons l’exemple de -3 : aucune ordonnée sur la courbe ne correspond à cette abscisse. De même, zéro reste inaccessible car la fonction tend vers moins l’infini sans jamais l’atteindre. Nous constatons donc que l’ensemble de définition de ln(x) s’écrit ]0 ; +∞[, ce qui signifie que seuls les réels strictement positifs possèdent une image par cette fonction.
L’intérêt de la représentation graphique des fonctions mathématiques réside dans cette compréhension intuitive. Lorsque nous testons des valeurs numériques, 5 possède bien une image sur la courbe, tandis que toute valeur inférieure ou égale à zéro en est dépourvue. Cette approche visuelle facilite grandement la résolution des exercices, notamment dans les situations où une expression algébrique remplace la variable x.
Résolution méthodique pour les fonctions composées
Nous abordons maintenant les situations plus complexes où une expression apparaît à l’intérieur du logarithme. Considérons une fonction du type h(x) = ln(x² + x – 6). La méthode repose sur une analyse préalable de l’expression polynomiale. Lorsque nous substituons une valeur à x, le polynôme produit un résultat intermédiaire qui devient ensuite l’argument du logarithme.
Testons avec x = 3 : nous obtenons 9 + 3 – 6 = 6, valeur strictement positive qui convient parfaitement. En revanche, pour x = 1, le calcul donne 1 + 1 – 6 = -4, résultat négatif inadmissible pour la fonction logarithme. Cette observation révèle la nécessité d’identifier les intervalles de positivité du polynôme. Seules les valeurs de x rendant l’expression interne strictement positive appartiennent au domaine de définition.
La démarche systématique consiste à :
- Isoler l’expression figurant entre les parenthèses du logarithme
- Établir le tableau de signes de cette expression
- Sélectionner uniquement les intervalles où elle reste positive
- Exclure les bornes pour lesquelles elle s’annule
Cette méthodologie s’applique également dans les problèmes impliquant des équations différentielles, où la fonction logarithme intervient fréquemment dans les solutions générales.
Application pratique avec l’étude du signe polynômial
Nous détaillons maintenant le traitement complet d’un polynôme du second degré. Pour x² + x – 6, calculons le discriminant Δ = b² – 4ac = 1² – 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25. Cette valeur, égale à 5², annonce deux racines rationnelles, signe favorable pour les calculs.
| Racine | Formule | Calcul | Résultat |
|---|---|---|---|
| x₁ | (-b – √Δ) / 2a | (-1 – 5) / 2 | -3 |
| x₂ | (-b + √Δ) / 2a | (-1 + 5) / 2 | 2 |
Nous construisons ensuite le tableau de variations. Le polynôme présente le signe du coefficient dominant à l’extérieur des racines. Puisque a = 1 est positif, l’expression polynomiale reste positive sur ]-∞ ; -3[ et sur ]2 ; +∞[, tandis qu’elle devient négative sur l’intervalle ]-3 ; 2[.
Pour notre fonction h(x) = ln(x² + x – 6), nous retenons exclusivement les zones de positivité stricte. Les racines -3 et 2 doivent être exclues car elles annulent le polynôme, rendant le logarithme indéfini. Le domaine de définition s’écrit donc : Dh = ]-∞ ; -3[ ∪ ]2 ; +∞[. Cette union d’intervalles traduit mathématiquement les restrictions imposées par la nature du logarithme.
Nous remarquons que cette approche systématique fonctionne pour toute composition impliquant ln. Que l’expression interne soit un polynôme, une fraction rationnelle ou une fonction trigonométrique, la règle demeure identique : identifier où cette expression reste strictement positive. Cette compétence, acquise progressivement, constitue un prérequis indispensable pour aborder sereinement les exercices d’analyse en enseignement supérieur.
